Тигеҙһеҙлек — версиялар араһындағы айырма

28 байт өҫтәлгән ,  2 года назад
Үҙгәртеү аңлатмаһы юҡ
{{ТК}}
'''Тигеҙһеҙлек''' [[математика]]ла — ике һанды йәки башҡа [[Математик объект|математик объектты]] түбәндә һанап кителгән тамғаларҙың береһе менән бәйләүсе бәйләнеш<ref name=ME>{{книга |часть=Неравенства |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |том=3 |год=1982 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t3.djvu |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] |страницы=999 }}</ref>.
{{Ук}}
'''Тигеҙһеҙлек''' [[математика]]ла  — ике һанды йәки башҡа [[Математик объект|математик объектты]] түбәндә һанап кителгән тамғаларҙың береһе менән бәйләүсе бәйләнеш<ref name=ME>{{книга |часть=Неравенства |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |том=3 |год=1982 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t3.djvu |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] |страницы=999 }}</ref>.
 
; Ҡәтғи тигеҙһеҙлектәр
* <math>a < b</math>  — <math>a</math> <math>b</math>-нан ''бәләкәй'' тигәнде аңлата.
* <math>a > b </math>  — <math>a</math> <math>b</math>-нан ''ҙурыраҡ'' тигәнде аңлата.
<math>a > b </math> һәм <math>b < a</math> тигеҙһеҙлектәре тиң көслө. <math>></math> һәм <math><</math> тамғалары '''ҡапма-ҡаршы''' тип әйтәләр; мәҫәлән, «тигеҙһеҙлектең тамғаһы ҡапма-ҡаршыға үҙгәрҙе» әйтеүе <math><</math> тамғаһы <math>></math> тамғаһына үҙгәрҙе тигәнде аңлата, йәки киреһенсә.
 
; Ҡәтғи булмаған тигеҙһеҙлектәр
* <math>a \leqslant b</math>  — <math>a</math> <math>b</math>-нан ''бәләкәй йәки тигеҙ'' тигәнде аңлата
* <math>a \geqslant b</math>  — <math>a</math> <math>b</math>-нан ''ҙур йәки тигеҙ'' тигәнде аңлата
<math>\leqslant</math> һәм <math>\geqslant</math> тамғаларының урыҫ телендәге яҙылыш традицияһы сит илдә ҡабул ителгәндән айырыла, унда ғәҙәттә <math>\le</math> һәм <math>\ge</math> тамғаларын ҡулланалар. <math>\leqslant</math> һәм <math>\geqslant</math> тамғалары тураһында шулай уҡ улар '''ҡапма-ҡаршы''' тип әйтәләр.
 
; Тигеҙһеҙлектәрҙең башҡа типтары
* <math>a \neq b </math>  — <math>a</math> <math>b</math>-ға ''тигеҙ түгел'' тигәнде аңлата.
* <math>a \gg b</math>  — <math>a</math> дәүмәле <math>b</math>-нан күпкә ҙурыраҡ тигәнде аңлата.
* <math>a \ll b</math>  — <math>a</math> дәүмәле <math>b</math>-нан күпкә бәләкәйерәк тигәнде аңлата.
 
Артабан был мәҡәләлә, әгәр иҫкәрмә яһалмаһа, тигеҙһеҙлек төшөнсәһе тәүге дүрт төргә ҡарай.
 
Бер нисә тигеҙһеҙлекте берәүгә берләштереүсе икеле һәм хатта күп тапҡырлы тигеҙһеҙлек рөхсәт ителә. Миҫал:
: <math>a<b<c</math>  — <math>a<b</math> һәм <math>b<c</math> тигеҙһеҙлектәр парының ҡыҫҡаса яҙылышы ул.
 
== Һанлы тигеҙһеҙлектәр ==
Һанлы тигеҙһеҙлектәр [[ысын һандар]]ҙан торалар ([[Комплекслы һан]]дар өсөн ҙур-бәләкәй сағыштырыуы билдәләнмәгән) һәм шулай уҡ <math>(x,y,\dots).</math> үҙгәреүсәндәр символдары ла булырға мөмкин. Билдәһеҙ дәүмәлдәр ингән һанлы тигеҙһеҙлектәр, ([[Тигеҙләмә|тигеҙләмәләр]] кеүек) алгебраик һәм трансцендент төрҙәргә бүленәләр. Алгебраик тигеҙһеҙлектәр, үҙ сиратында, беренсе дәрәжә, икенсе дәрәжә һәм шулай артабан тигеҙһеҙлектәргә бүленәләр. Мәҫәлән, <math>18x < 414</math> тигеҙһеҙлеге  — беренсе дәрәжә алгебраик тигеҙһеҙлек, <math> 2x^3-7x+6 > 0 </math> тигеҙһеҙлеге  — өсөнсө дәрәжә алгебраик тигеҙһеҙлек, <math>2^x > x+4 </math> тигеҙһеҙлеге— трансцендент{{sfn |Справочник по элементарной математике|1978|с=177}}.
 
=== Үҙсәнлектәре ===
* Тигеҙһеҙлектең ике яғын да бер үк ''ыңғай'' һанға ҡабатларға мөмкин.
* Бер исемле тигеҙһеҙлектәрҙе быуын-быуынлап ҡушырға мөмкин: әгәр, мәҫәлән, <math>a<b</math> һәм <math>c<d</math> булһа, ул саҡта <math>a+b<c+d.</math> ''Ҡапма-ҡаршы тамғалы'' тигеҙһеҙлектәрҙе оҡшаш рәүештә быуын-быуынлап алырға мөмкин.
* Әгәр ике тигеҙһеҙлектең бөтә дүрт өлөшө лә ыңғай булһа, ул саҡта тигеҙһеҙлектәрҙе ҡабатларға мөмкин.
* Әгәр тигеҙһеҙлектең ике яғы ла ыңғай булһа, уларҙы бер үк (натураль) дәрәжәгә күтәрергә мөмкин, шулай уҡ теләһә ниндәй нигеҙ буйынса [[логарифм]]ларға мөмкин (әгәр логарифмдың нигеҙе 1-ҙән бәләкәй булһа, тигеҙһеҙлектең тамғаһын ҡапма-ҡаршыға үҙгәртергә кәрәк).
 
; Башҡа үҙсәнлектәре:
* (Транзитивлыҡ) Әгәр <math>a<b</math> һәм <math>b<c</math> булһа, ул саҡта <math>a<c</math> һәм ҡалған тамғалар өсөн ошоға оҡшаш рәүештә.
* Әгәр тигеҙһеҙлектең ике яғын да бер үк ''тиҫкәре'' һанға ҡабатлаһаң, тигеҙһеҙлектең тамғаһы ҡапма-ҡаршыға үҙгәрә: ''ҙурыраҡ'' ''бәләкәйерәк''кә, ''ҙур йәки тигеҙ'' ''бәләкәй йәки тигеҙ''гә һ. б.
 
=== Тигеҙһеҙлектәрҙе сығарыу ===
: <math>x^2>-4</math> тигеҙһеҙлеге <math>x</math>-тың теләһә ниндәй ҡиммәтендә лә үтәлә ([[Тождество (математика)|тождество]]).
 
'''Иғтибар''': әгәр билдәһеҙ дәүмәл ингән тигеҙһеҙлекте йоп дәрәжәгә күтәрһәң, «артыҡ» сығарылыштар килеп сығырға мөмкин. Миҫал: әгәр <math>x>3</math> тигеҙһеҙлеген квадратҡа күтәрһәң: <math>x^2>9,</math>, килеп сыҡҡан <math>x<-3,</math> хата сығарылышы бирелгән тигеҙһеҙлекте ҡәнәғәтләндермәй. Шуға күрә шундай юл менән табылған бөтә сығарылыштарҙы бирелгән тигеҙһеҙлеккә ҡуйып ҡарау юлы менән тикшерергә кәрәк.
 
==== Беренсе дәрәжә тигеҙһеҙлектәр ====
Если [[квадратное уравнение]] <math>x^2+px+q=0</math> имеет вещественные корни <math>x_1, x_2,</math> то неравенство можно привести к виду соответственно:
: <math>(x-x_1)(x-x_2)>0</math> или <math>(x-x_1)(x-x_2)<0.</math>
В первом случае <math>x-x_1</math> и <math>x-x_2</math> должны иметь одинаковые знаки, во втором  — разные. Для окончательного ответа надо применить следующее простое правило{{sfn |Элементарная математика|1976|с=217—222}}.
{{рамка}}
[[Квадратный трёхчлен]] <math>x^2+px+q</math> с разными вещественными корнями ''отрицателен'' в интервале между корнями и ''положителен'' вне этого интервала.
'''Пример 4'''. <math>x^2+6x+15<0.</math> Как и в предыдущем примере, здесь левая часть всегда положительна, поэтому неравенство не имеет решений.
 
Аналогично, разложением на множители, можно решать неравенства высших степеней. Другой способ - — построить график левой части и определить, какие знаки она имеет в различных интервалах{{sfn |Элементарная математика|1976|с=212—213, 219—222}}.
 
== Некоторые известные неравенства ==
* <math>\sqrt{ab}\leqslant {a+b\over 2},</math> где <math>a,b>0.</math> Смысл: [[среднее геометрическое]] двух чисел не превосходит их [[среднее арифметическое]]. Равенство имеет место только при <math>a=b.</math>
* [[Неравенство Бернулли]]:
: <math>(1+x)^n\geqslant 1 + nx,</math> где <math>x\geqslant -1, n</math>  — [[натуральное число]].
* [[Неравенство Коши — Буняковского]].
* [[Неравенство треугольника]]:
| Basic, Pascal
|---- style="text-align:center"
|~=
| Lua
|---- style="text-align:center"
|}
 
== Тигеҙһеҙлек тамғалары кодтары ==
{| border="1" cellspacing="3" cellpadding="1" style="border-collapse:collapse;"
|- style="background-color:#BBCCFF"
11 407

үҙгәртеү