Википедия

Тигеҙһеҙлек: өлгөләр араһындағы айырма

Интерактивная навигация по истории
← Алдағы үҙгәртеүКиләһе үҙгәртеү →
Эстәлек юйылған Эстәлек өҫтәлгән
ВизуальВикитекст
Үҙгәртеү аңлатмаһы юҡ
1 юл:
{{ТК}}
'''Тигеҙһеҙлек''' [[математика]]ла — ике һанды йәки башҡа [[Математик объект|математик объектты]] түбәндә һанап кителгән тамғаларҙың береһе менән бәйләүсе бәйләнеш<ref name=ME>{{книга |часть=Неравенства |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |том=3 |год=1982 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t3.djvu |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] |страницы=999 }}</ref>.▼
{{Ук}}
▲'''Тигеҙһеҙлек''' [[математика]]ла  — ике һанды йәки башҡа [[Математик объект|математик объектты]] түбәндә һанап кителгән тамғаларҙың береһе менән бәйләүсе бәйләнеш<ref name=ME>{{книга |часть=Неравенства |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |том=3 |год=1982 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t3.djvu |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] |страницы=999 }}</ref>.
 
; Ҡәтғи тигеҙһеҙлектәр
* <math>a < b</math>  — <math>a</math> <math>b</math>-нан ''бәләкәй'' тигәнде аңлата.
* <math>a > b </math>  — <math>a</math> <math>b</math>-нан ''ҙурыраҡ'' тигәнде аңлата.
<math>a > b </math> һәм <math>b < a</math> тигеҙһеҙлектәре тиң көслө. <math>></math> һәм <math><</math> тамғалары '''ҡапма-ҡаршы''' тип әйтәләр; мәҫәлән, «тигеҙһеҙлектең тамғаһы ҡапма-ҡаршыға үҙгәрҙе» әйтеүе <math><</math> тамғаһы <math>></math> тамғаһына үҙгәрҙе тигәнде аңлата, йәки киреһенсә.
 
; Ҡәтғи булмаған тигеҙһеҙлектәр
* <math>a \leqslant b</math>  — <math>a</math> <math>b</math>-нан ''бәләкәй йәки тигеҙ'' тигәнде аңлата
* <math>a \geqslant b</math>  — <math>a</math> <math>b</math>-нан ''ҙур йәки тигеҙ'' тигәнде аңлата
<math>\leqslant</math> һәм <math>\geqslant</math> тамғаларының урыҫ телендәге яҙылыш традицияһы сит илдә ҡабул ителгәндән айырыла, унда ғәҙәттә <math>\le</math> һәм <math>\ge</math> тамғаларын ҡулланалар. <math>\leqslant</math> һәм <math>\geqslant</math> тамғалары тураһында шулай уҡ улар '''ҡапма-ҡаршы''' тип әйтәләр.
 
; Тигеҙһеҙлектәрҙең башҡа типтары
* <math>a \neq b </math>  — <math>a</math> <math>b</math>-ға ''тигеҙ түгел'' тигәнде аңлата.
* <math>a \gg b</math>  — <math>a</math> дәүмәле <math>b</math>-нан күпкә ҙурыраҡ тигәнде аңлата.
* <math>a \ll b</math>  — <math>a</math> дәүмәле <math>b</math>-нан күпкә бәләкәйерәк тигәнде аңлата.
 
Артабан был мәҡәләлә, әгәр иҫкәрмә яһалмаһа, тигеҙһеҙлек төшөнсәһе тәүге дүрт төргә ҡарай.
Юл 24 ⟶ 26:
 
Бер нисә тигеҙһеҙлекте берәүгә берләштереүсе икеле һәм хатта күп тапҡырлы тигеҙһеҙлек рөхсәт ителә. Миҫал:
: <math>a<b<c</math>  — <math>a<b</math> һәм <math>b<c</math> тигеҙһеҙлектәр парының ҡыҫҡаса яҙылышы ул.
 
== Һанлы тигеҙһеҙлектәр ==
Һанлы тигеҙһеҙлектәр [[ысын һандар]]ҙан торалар ([[Комплекслы һан]]дар өсөн ҙур-бәләкәй сағыштырыуы билдәләнмәгән) һәм шулай уҡ <math>(x,y,\dots).</math> үҙгәреүсәндәр символдары ла булырға мөмкин. Билдәһеҙ дәүмәлдәр ингән һанлы тигеҙһеҙлектәр, ([[Тигеҙләмә|тигеҙләмәләр]] кеүек) алгебраик һәм трансцендент төрҙәргә бүленәләр. Алгебраик тигеҙһеҙлектәр, үҙ сиратында, беренсе дәрәжә, икенсе дәрәжә һәм шулай артабан тигеҙһеҙлектәргә бүленәләр. Мәҫәлән, <math>18x < 414</math> тигеҙһеҙлеге  — беренсе дәрәжә алгебраик тигеҙһеҙлек, <math> 2x^3-7x+6 > 0 </math> тигеҙһеҙлеге  — өсөнсө дәрәжә алгебраик тигеҙһеҙлек, <math>2^x > x+4 </math> тигеҙһеҙлеге— трансцендент{{sfn |Справочник по элементарной математике|1978|с=177}}.
 
=== Үҙсәнлектәре ===
Юл 35 ⟶ 37:
* Тигеҙһеҙлектең ике яғын да бер үк ''ыңғай'' һанға ҡабатларға мөмкин.
* Бер исемле тигеҙһеҙлектәрҙе быуын-быуынлап ҡушырға мөмкин: әгәр, мәҫәлән, <math>a<b</math> һәм <math>c<d</math> булһа, ул саҡта <math>a+b<c+d.</math> ''Ҡапма-ҡаршы тамғалы'' тигеҙһеҙлектәрҙе оҡшаш рәүештә быуын-быуынлап алырға мөмкин.
* Әгәр ике тигеҙһеҙлектең бөтә дүрт өлөшө лә ыңғай булһа, ул саҡта тигеҙһеҙлектәрҙе ҡабатларға мөмкин.
* Әгәр тигеҙһеҙлектең ике яғы ла ыңғай булһа, уларҙы бер үк (натураль) дәрәжәгә күтәрергә мөмкин, шулай уҡ теләһә ниндәй нигеҙ буйынса [[логарифм]]ларға мөмкин (әгәр логарифмдың нигеҙе 1-ҙән бәләкәй булһа, тигеҙһеҙлектең тамғаһын ҡапма-ҡаршыға үҙгәртергә кәрәк).
 
; Башҡа үҙсәнлектәре:
* (Транзитивлыҡ) Әгәр <math>a<b</math> һәм <math>b<c</math> булһа, ул саҡта <math>a<c</math> һәм ҡалған тамғалар өсөн ошоға оҡшаш рәүештә.
* Әгәр тигеҙһеҙлектең ике яғын да бер үк ''тиҫкәре'' һанға ҡабатлаһаң, тигеҙһеҙлектең тамғаһы ҡапма-ҡаршыға үҙгәрә: ''ҙурыраҡ'' ''бәләкәйерәк''кә, ''ҙур йәки тигеҙ'' ''бәләкәй йәки тигеҙ''гә һ. б.
 
=== Тигеҙһеҙлектәрҙе сығарыу ===
Юл 49 ⟶ 51:
: <math>x^2>-4</math> тигеҙһеҙлеге <math>x</math>-тың теләһә ниндәй ҡиммәтендә лә үтәлә ([[Тождество (математика)|тождество]]).
 
'''Иғтибар''': әгәр билдәһеҙ дәүмәл ингән тигеҙһеҙлекте йоп дәрәжәгә күтәрһәң, «артыҡ» сығарылыштар килеп сығырға мөмкин. Миҫал: әгәр <math>x>3</math> тигеҙһеҙлеген квадратҡа күтәрһәң: <math>x^2>9,</math>, килеп сыҡҡан <math>x<-3,</math> хата сығарылышы бирелгән тигеҙһеҙлекте ҡәнәғәтләндермәй. Шуға күрә шундай юл менән табылған бөтә сығарылыштарҙы бирелгән тигеҙһеҙлеккә ҡуйып ҡарау юлы менән тикшерергә кәрәк.
 
==== Беренсе дәрәжә тигеҙһеҙлектәр ====
Юл 69 ⟶ 71:
Если [[квадратное уравнение]] <math>x^2+px+q=0</math> имеет вещественные корни <math>x_1, x_2,</math> то неравенство можно привести к виду соответственно:
: <math>(x-x_1)(x-x_2)>0</math> или <math>(x-x_1)(x-x_2)<0.</math>
В первом случае <math>x-x_1</math> и <math>x-x_2</math> должны иметь одинаковые знаки, во втором  — разные. Для окончательного ответа надо применить следующее простое правило{{sfn |Элементарная математика|1976|с=217—222}}.
{{рамка}}
[[Квадратный трёхчлен]] <math>x^2+px+q</math> с разными вещественными корнями ''отрицателен'' в интервале между корнями и ''положителен'' вне этого интервала.
Юл 84 ⟶ 86:
'''Пример 4'''. <math>x^2+6x+15<0.</math> Как и в предыдущем примере, здесь левая часть всегда положительна, поэтому неравенство не имеет решений.
 
Аналогично, разложением на множители, можно решать неравенства высших степеней. Другой способ - — построить график левой части и определить, какие знаки она имеет в различных интервалах{{sfn |Элементарная математика|1976|с=212—213, 219—222}}.
 
== Некоторые известные неравенства ==
Юл 91 ⟶ 93:
* <math>\sqrt{ab}\leqslant {a+b\over 2},</math> где <math>a,b>0.</math> Смысл: [[среднее геометрическое]] двух чисел не превосходит их [[среднее арифметическое]]. Равенство имеет место только при <math>a=b.</math>
* [[Неравенство Бернулли]]:
: <math>(1+x)^n\geqslant 1 + nx,</math> где <math>x\geqslant -1, n</math>  — [[натуральное число]].
* [[Неравенство Коши — Буняковского]].
* [[Неравенство треугольника]]:
Юл 111 ⟶ 113:
| Basic, Pascal
|---- style="text-align:center"
|~=≈
| Lua
|---- style="text-align:center"
Юл 121 ⟶ 123:
|}
 
== Тигеҙһеҙлек тамғалары кодтары ==
{| border="1" cellspacing="3" cellpadding="1" style="border-collapse:collapse;"
|- style="background-color:#BBCCFF"
«https://ba.wikipedia.org/wiki/Тигеҙһеҙлек» битенән алынған