Тигеҙһеҙлек — версиялар араһындағы айырма

301 байт өҫтәлгән ,  2 года назад
Үҙгәртеү аңлатмаһы юҡ
("'''Тигеҙһеҙлек''' математикала — ике һанды йәки башҡа Математик объект|мате…" исемле яңы бит булдырылған)
 
 
; Ҡәтғи тигеҙһеҙлектәр
* <math>a < b</math> — <math>a</math> <math>b.</math>-нан ''бәләкәй'' тигәнде аңлата.
* <math>a > b </math> — <math>a</math> <math>b.</math>-нан ''ҙурыраҡ'' тигәнде аңлата.
<math>a > b </math> һәм <math>b < a</math> тигеҙһеҙлектәре тиң көслө. <math>></math> һәм <math><</math> тамғалары '''ҡапма-ҡаршы''' тип әйтәләр; мәҫәлән, «тигеҙһеҙлектең тамғаһы ҡапма-ҡаршыға үҙгәрҙе» әйтеүе <math><</math> тамғаһы <math>></math> тамғаһына үҙгәрҙе тигәнде аңлата, йәки киреһенсә.
 
; Ҡәтғи булмаған тигеҙһеҙлектәр
* <math>a \leqslant b</math> — <math>a</math> <math>b.</math>-нан ''бәләкәй йәки тигеҙ'' тигәнде аңлата
* <math>a \geqslant b</math> — <math>a</math> <math>b.</math>-нан ''ҙур йәки тигеҙ'' тигәнде аңлата
<math>\leqslant</math> һәм <math>\geqslant</math> тамғаларының урыҫ телендәге яҙылыш традицияһы сит илдә ҡабул ителгәндән айырыла, унда ғәҙәттә <math>\le</math> һәм <math>\ge</math> тамғаларын ҡулланалар. <math>\leqslant</math> һәм <math>\geqslant</math> тамғалары тураһында шулай уҡ улар '''ҡапма-ҡаршы''' тип әйтәләр.
 
; Тигеҙһеҙлектәрҙең башҡа типтары
* <math>a \neq b </math> — <math>a</math> <math>b</math>-ға ''тигеҙ түгел'' тигәнде аңлата.
* <math>a \gg b</math> — <math>a</math> дәүмәле <math>b.</math>-нан күпкә ҙурыраҡ тигәнде аңлата.
* <math>a \ll b</math> — <math>a</math> дәүмәле <math>b.</math>-нан күпкә бәләкәйерәк тигәнде аңлата.
 
Артабан был мәҡәләлә, әгәр иҫкәрмә яһалмаһа, тигеҙһеҙлек төшөнсәһе тәүге дүрт төргә ҡарай.
 
[[Элементар математика]]ла һанлы тигеҙһеҙлектәрҙе өйрәнәләр. [[Дөйөм алгебра]]ла, [[Анализ (математика бүлеге)|анализда]], [[Геометрия|геометрияла]] һан булмаған объекттар араһындағы тигеҙһеҙлектәрҙе лә ҡарайҙар.
В [[Элементарная математика|элементарной математике]] изучают числовые неравенства. В [[Общая алгебра|общей алгебре]], [[Анализ (раздел математики)|анализе]], [[Геометрия|геометрии]] рассматриваются неравенства также и между объектами нечисловой природы.
 
== Бәйле билдәләмәләр ==
== Связанные определения ==
Бер үк тамғалы тигеҙһеҙлектәр '''бер исемлеләр''' тип аталалар (ҡайһы берҙә «бер мәғәнәле» йәки «бер төрлө мәғәнәле» терминдары ҡулланыла).
Неравенства с одинаковыми знаками называются '''одноимёнными''' (иногда используется термин «одного смысла» или «одинакового смысла»).
 
Бер нисә тигеҙһеҙлекте берәүгә берләштереүсе икеле һәм хатта күп тапҡырлы тигеҙһеҙлек рөхсәт ителә. Миҫал:
Допускается двойное или даже многократное неравенство, объединяющее несколько неравенств в одно. Пример:
: <math>a<b<c</math> — это краткая запись пары неравенств: <math>a<b</math> иһәм <math>b<c.</math> тигеҙһеҙлектәр парының ҡыҫҡаса яҙылышы ул.
 
== Һанлы тигеҙһеҙлектәр ==
== Числовые неравенства ==
Һанлы тигеҙһеҙлектәр [[ысын һандар]]ҙан торалар ([[Комплекслы һан]]дар өсөн ҙур-бәләкәй сағыштырыуы билдәләнмәгән) һәм шулай уҡ <math>(x,y,\dots).</math> үҙгәреүсәндәр символдары ла булырға мөмкин. Билдәһеҙ дәүмәлдәр ингән һанлы тигеҙһеҙлектәр, ([[Тигеҙләмә|тигеҙләмәләр]] кеүек) алгебраик һәм трансцендент төрҙәргә бүленәләр. Алгебраик тигеҙһеҙлектәр, үҙ сиратында, беренсе дәрәжә, икенсе дәрәжә һәм шулай артабан тигеҙһеҙлектәргә бүленәләр. Мәҫәлән, <math>18x < 414</math> тигеҙһеҙлеге — беренсе дәрәжә алгебраик тигеҙһеҙлек, <math> 2x^3-7x+6 > 0 </math> тигеҙһеҙлеге — өсөнсө дәрәжә алгебраик тигеҙһеҙлек, <math>2^x > x+4 </math> тигеҙһеҙлеге— трансцендент{{sfn |Справочник по элементарной математике|1978|с=177}}.
Числовые неравенства содержат [[вещественные числа]] (для [[Комплексное число|комплексных чисел]] сравнение на больше-меньше не определено) и могут содержать также символы неизвестных <math>(x,y,\dots).</math> Числовые неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются (аналогично [[Уравнение|уравнениям]]) на алгебраические и трансцендентные. Алгебраические неравенства, в свою очередь, подразделяются на неравенства первой степени, второй степени и так далее. Например, неравенство <math>18x < 414</math> — алгебраическое первой степени, неравенство <math> 2x^3-7x+6 > 0 </math> — алгебраическое третьей степени, неравенство <math>2^x > x+4 </math> — трансцендентное{{sfn |Справочник по элементарной математике|1978|с=177}}.
 
=== СвойстваҮҙсәнлектәре ===
Һанлы тигеҙһеҙлектәрҙең үҙсәнлектәре ҡайһы бер яҡтан [[Тигеҙләмә|тигеҙләмәләрҙең]] үҙсәнлектәренә яҡын<ref name=ME/>:
Свойства числовых неравенств в некоторых отношениях близки к свойствам [[Уравнение|уравнений]]<ref name=ME/>:
* Тигеҙһеҙлектең ике яғына ла бер үк һанды ҡушырға мөмкин.
* К обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число.
* Тигеҙһеҙлектең ике яғынан да бер үк һанды алырға мөмкин. Эҙемтә: тигеҙләмәләге кеүек, тигеҙһеҙлектең теләһә ниндәй быуынын ҡапма-ҡаршы тамғаһы менән тигеҙһеҙлектең икенсе яғына сығарырға мөмкин. Мәҫәлән, <math>a+b<c</math> тигеҙһеҙлегенән, <math>a<c-b</math> тигеҙһеҙлеге килеп сыға.
* От обеих частей неравенства можно отнять одно и то же число. Следствие: как и для уравнений, любой член неравенства можно перенести в другую часть с противоположным знаком. Например, из <math>a+b<c</math> следует, что <math>a<c-b.</math>
* Тигеҙһеҙлектең ике яғын да бер үк ''ыңғай'' һанға ҡабатларға мөмкин.
* Обе части неравенства можно умножить на одно и то же ''положительное'' число.
* Бер исемле тигеҙһеҙлектәрҙе быуын-быуынлап ҡушырға мөмкин: әгәр, мәҫәлән, <math>a<b</math> һәм <math>c<d</math> булһа, ул саҡта <math>a+b<c+d.</math> ''Ҡапма-ҡаршы тамғалы'' тигеҙһеҙлектәрҙе оҡшаш рәүештә быуын-быуынлап алырға мөмкин.
* Одноимённые неравенства можно складывать: если, например, <math>a<b</math> и <math>c<d,</math> то <math>a+b<c+d.</math> Неравенства ''с противоположными знаками'' можно аналогично почленно вычитать.
* Әгәр ике тигеҙһеҙлектең бөтә дүрт өлөшө лә ыңғай булһа, ул саҡта тигеҙһеҙлектәрҙе ҡабатларға мөмкин.
* Если все четыре части двух неравенств положительны, то неравенства можно перемножить.
* Әгәр тигеҙһеҙлектең ике яғы ла ыңғай булһа, уларҙы бер үк (натураль) дәрәжәгә күтәрергә мөмкин, шулай уҡ теләһә ниндәй нигеҙ буйынса [[логарифм]]ларға мөмкин (әгәр логарифмдың нигеҙе 1-ҙән бәләкәй булһа, тигеҙһеҙлектең тамғаһын ҡапма-ҡаршыға үҙгәртергә кәрәк).
* Если обе части неравенства положительны, то их можно возвести в одну и ту же (натуральную) степень, а также [[логарифм]]ировать с любым основанием (если основание логарифма меньше 1, то знак неравенства надо изменить на противоположный).
 
; Башҡа үҙсәнлектәре:
; Другие свойства:
* (ТранзитивностьТранзитивлыҡ) ЕслиӘгәр <math>a<b</math> иһәм <math>b<c,</math> тобулһа, ул саҡта <math>a<c</math> иһәм ҡалған тамғалар аналогичноөсөн дляошоға прочихоҡшаш знаковрәүештә.
* Әгәр тигеҙһеҙлектең ике яғын да бер үк ''тиҫкәре'' һанға ҡабатлаһаң, тигеҙһеҙлектең тамғаһы ҡапма-ҡаршыға үҙгәрә: ''ҙурыраҡ'' ''бәләкәйерәк''кә, ''ҙур йәки тигеҙ'' ''бәләкәй йәки тигеҙ''гә һ. б.
* Если обе части неравенства умножить на одно и то же ''отрицательное'' число, то знак неравенства изменится на противоположный: ''больше'' на ''меньше'', ''больше или равно'' на ''меньше или равно'' и т. д.
 
=== Тигеҙһеҙлектәрҙе сығарыу ===
=== Решение неравенств ===
Әгәр тигеҙһеҙлеккә билдәһеҙ дәүмәл символы инһә, ул саҡта тигеҙһеҙлекте сығарыу, билдәһеҙҙең ниндәй ҡиммәттәрендә тигеҙһеҙлек үтәлә тигән һорауҙы асыҡлауҙы аңлата. Миҫалдар:
Если неравенство содержит символы неизвестных, то решение его означает выяснение вопроса, при каких значениях неизвестных неравенство выполняется. Примеры:
: <math>x^2<4</math> выполняется при <math>-2<x<2.</math> булғанда үтәлә.
: <math>x^2>4</math> выполняется, если либотигеҙһеҙлеге <math>x>2,</math> либойәки <math>x<-2.</math> булғанда үтәлә.
: <math>x^2<-4</math> нетигеҙһеҙлеге выполняетсябер никогдаҡасан да үтәлмәй (решенийсығарылышы нетюҡ).
: <math>x^2>-4</math> выполняется при всехтигеҙһеҙлеге <math>x</math>-тың теләһә ниндәй ҡиммәтендә лә үтәлә ([[Тождество (математика)|тождество]]).
 
'''Иғтибар''': әгәр билдәһеҙ дәүмәл ингән тигеҙһеҙлекте йоп дәрәжәгә күтәрһәң, «артыҡ» сығарылыштар килеп сығырға мөмкин. Миҫал: әгәр <math>x>3</math> тигеҙһеҙлеген квадратҡа күтәрһәң: <math>x^2>9,</math>, килеп сыҡҡан <math>x<-3,</math> хата сығарылышы бирелгән тигеҙһеҙлекте ҡәнәғәтләндермәй. Шуға күрә шундай юл менән табылған бөтә сығарылыштарҙы бирелгән тигеҙһеҙлеккә ҡуйып ҡарау юлы менән тикшерергә кәрәк.
'''Внимание''': если возвести в чётную степень неравенство, содержащее неизвестные, могут появиться «лишние» решения. Пример: если неравенство <math>x>3</math> возвести в квадрат: <math>x^2>9,</math> то появится ошибочное решение <math>x<-3,</math> не удовлетворяющее исходному неравенству. Поэтому все полученные таким образом решения следует проверить подстановкой в исходное неравенство.
 
==== Беренсе дәрәжә тигеҙһеҙлектәр ====
==== Неравенства первой степени ====
Неравенство первой степени имеет общий формат: <math>ax>b</math> или <math>ax<b,</math> где <math>a \ne 0</math> (работа со знаками <math>\geqslant</math> и <math>\leqslant</math> аналогична). Чтобы его решить, разделите неравенство на <math>a</math> и, если <math>a<0,</math> измените знак неравенства на противоположный{{sfn |Справочник по элементарной математике|1978|с=178}}. Пример:
: <math>5x-11>8x+1.</math> Приведём подобные члены: <math>-3x>12,</math> или <math>x<-4.</math>
: См. следствия этого неравенства в статье [[Абсолютная величина]].
 
== Программалау телдәрендә тигеҙһеҙлек тамғалары ==
== Знаки неравенства в языках программирования ==
«Тигеҙ түгел» символы төрлө [[программалау телдәре]]ндә төрлөсә һүрәтләнә.
Символ «не равно» в разных [[Язык программирования|языках программирования]] изображается по-разному.
 
{| border="1" cellspacing="3" cellpadding="1" style="border-collapse:collapse;"
|- style="background-color:#BBCCFF"
! Символ
! Телдәр
! Языки
|---- style="text-align:center"
| !=
|}
 
== Тигеҙһеҙлек тамғалары кодтары ==
== Коды знаков неравенств ==
{| border="1" cellspacing="3" cellpadding="1" style="border-collapse:collapse;"
|- style="background-color:#BBCCFF"
! rowspan=2 | Символ
! rowspan=2 | ИзображениеҺүрәтләнеше
! colspan=2 | Юникод
! rowspan=2 | РусскоеУрыҫса названиеисеме
! colspan=3 | HTML
! rowspan=2 | LaTeX
| U+003C
| style="text-align:left" | {{sc|Less-than sign}}
| style="text-align:left" | МеньшеБәләкәй
| &amp;#x3C;
| &amp;#60;
| U+003E
| style="text-align:left" | {{sc|Greater-than sign}}
| style="text-align:left" | БольшеҘур
| &amp;#x3E;
| &amp;#62;
| U+2A7D
| style="text-align:left" | {{sc|Less-than or slanted equal to}}
| style="text-align:left" | МеньшеБәләкәй либойәки равнотигеҙ
| &amp;#x2A7D;
| &amp;#10877;
| U+2A7E
| style="text-align:left" | {{sc|Greater-than or slanted equal to}}
| style="text-align:left" | БольшеҘур либойәки равнотигеҙ
| &amp;#x2A7E;
| &amp;#10878;
| U+2264
| style="text-align:left" | {{sc|Less-than or equal to}}
| style="text-align:left" | МеньшеБәләкәй либойәки равнотигеҙ
| &amp;#x2264;
| &amp;#8804;
| U+2265
| style="text-align:left" | {{sc|Greater-than or equal to}}
| style="text-align:left" | БольшеҘур либойәки равнотигеҙ
| &amp;#x2265;
| &amp;#8805;
| U+226A
| style="text-align:left" | {{sc|Much less-than}}
| style="text-align:left" | МногоКүпкә меньшебәләкәй
| &amp;#x226A;
| &amp;#8810;
| U+226B
| style="text-align:left" | {{sc|Much greater-than}}
| style="text-align:left" | МногоКүпкә большеҙур
| &amp;#x226B;
| &amp;#8811;
11 653

үҙгәртеү