|
Рациональ һандар күмәклегенең иҫәпле булыуы тураһында раҫлау ниндәйҙер аптырап ҡалыу тыуҙырырға мөмкин, сөнки тәү ҡарауға ул натураль һандар күмәклегенән күпкә киңерәк тигән тәьҫорат тыуа. Ысынында улай түгел һәм бөтә рациональ һандарҙы нумерлап сығыу өсөн натураль һандар етә.
== Рациональ һандарҙың етерлек булмауы ==
== Недостаточность рациональных чисел ==
[[Файл:Square root of 2 triangle.svg|thumb|300px|ГипотенузаБындай такогоөсмөйөштөң треугольникагипотенузаһы небер выражаетсяниндәй никакимҙә рациональнымрациональ числомһан менән күрһәтелмәй]]
[[Геометрия]]ла [[Архимед аксиомаһы]]ның эҙемтәһе булып (юғарыла хәтергә алынғандан дөйөмөрәк аңлауҙа), <math>1/n</math> күренешендәге рациональ һандар менән күрһәтелгән, теләгәнсә бәләкәй (йәғни, ҡыҫҡа) дәүмәлдәр төҙөү мөмкинлеге тора. Был факт рациональ һандар менән теләһә ниндәй геометрик [[Алыҫлыҡ|алыҫлыҡтарҙы]] үлсәргә була тигән алдатҡыс тәьҫорат тыуҙыра. Бының дөрөҫ булмауын еңел күрһәтеп була.
В [[геометрия|геометрии]] следствием так называемой [[аксиома Архимеда|аксиомы Архимеда]] (в более общем понимании, чем упомянуто выше) является возможность построения сколь угодно малых (то есть, коротких) величин, выражаемых рациональными числами вида <math>1/n</math>. Этот факт создаёт обманчивое впечатление, что рациональными числами можно измерить вообще любые геометрические [[Расстояние|расстояния]]. Легко показать, что это не верно.
[[Пифагор теоремаһы]]нан билдәле булыуынса, тура мөйөшлө [[өсмөйөш]]төң [[гипотенуза]]һы уның [[катет]]тарының [[Квадрат (алгебра)|квадраттары]] суммаһынан [[квадрат тамыр]] итеп күрһәтелә. Шулай итеп берәмек катетлы тура мөйөшлө өсмөйөштөң гипотенуза оҙонлоғо <math>\sqrt{2}</math> тигеҙ, йәғни квадраты 2-гә тигеҙ булған һанға.
Из [[Теорема Пифагора|теоремы Пифагора]] известно, что [[гипотенуза]] прямоугольного [[треугольник]]а выражается как [[квадратный корень]] суммы [[Квадрат (алгебра)|квадратов]] его [[катет]]ов. Т. о. длина гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника с единичным катетом равна <math>\sqrt{2}</math>, то есть числу, квадрат которого равен 2.
Если допустить, что числоӘгәр <math>\sqrt{2}</math> представляетсяһаны некоторымниндәйҙер рациональнымрациональ числом,һан томенән найдётсякүрһәтелә такоетип целоеуйлаһаҡ, числошундай <math>m</math> ибөтөн такоеһаны натуральноеһәм числошундай <math>n</math> натураль һаны табып була, чтобында <math>\sqrt{2}=\frac{m}{n}</math>, причёмшуның дробьменән бергә <math>\frac{m}{n}</math> несократима,кәсере тоҡыҫҡармай естьторған, числайәғни <math>m</math> иһәм <math>n</math> һандары — [[ВзаимноҮҙ-ара простыеябай числаһандар|взаимноүҙ-ара простыеябай]].
ЕслиӘгәр <math>\sqrt{2}=\frac{m}{n}</math>, тоул саҡта <math>2 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{m}{n} \cdot \frac{m}{n} = \frac{m^2}{n^2}</math>, то естьйәғни <math>m^2 = 2n^2</math>. Следовательно,Шулай числоитеп, <math>m^2</math> чётноһаны йоп, ноләкин произведениетаҡ двухһандарҙың нечётныхҡабатландығы чисел нечётнотаҡ, что означает, что само числобыл <math>m</math> такжеһаны чётно.үҙе Алә значитйоп найдётсятигәнде натуральноеаңлата. числоТимәк шундай <math>k</math>, такоенатураль чтоһанын числотабып була, <math>m</math> можно представить в видеһанын <math>m=2k</math>. Квадраткүренешендә числакүрһәтеп була. <math>m</math> вһанының этом смыслеквадраты <math>m^2=4k^2</math>,ләкин но с другойикенсе стороныяҡтан <math>m^2 = 2n^2</math>, значиттимәк <math>4k^2 = 2n^2</math>, илийәки <math>n^2 = 2k^2</math>. КакБынан уже показано ранее для числаалда <math>m</math>, этоһаны значит,өсөн чтокүрһәтелгәнсә, числобыл <math>n</math> һаны — чётно, как и <math>m</math> кеүек үк йоп тигәнде аңлата. НоЛәкин тогдаул онисаҡта небыл являютсяһандар взаимноүҙ-ара простыми,ябай такбула какалмайҙар, обасөнки делятсяикеһе налә [[2 (числоһан)|2]]-гә бүленә. ПолученноеКилеп противоречиесыҡҡан доказывает, чтоҡапма-ҡаршылыҡ <math>\sqrt{2}</math> неһанының рациональ естьһан рациональноебулмауын числоиҫбатлай.
ИзЮғарыла вышесказанногоәйтелгәндән следуетсығып, яҫылыҡта что существуют отрезки на плоскости, а, значит, и на [[Числовая ось|числовой прямой]], которые не могут быть измерены рациональными числами. Это приводит к возможности расширения понятия рациональных чисел до [[Вещественное число|вещественных]].
== См. также ==
|
