|
Шундай төҙөүгә миҫал булып ябай алгоритм хеҙмәт итә ала. Ябай кәсерҙәрҙең сикһеҙ таблицаһы төҙөлә, һәр <math>i</math>-нсы юлдың һәр <math>j</math>-сы бағанаһында <math>\frac{i}{j}</math> кәсере урынлаша. Асыҡлыҡ өсөн был таблицаның юлдары һәм бағаналары берәмектән нумерланалар. Таблицаның күҙәүҙәре <math>\left( i,j \right)</math> тип тамғалана, бында <math>i</math> — таблицаның күҙәү урынлашҡан юлы номеры, ә <math>j</math> — бағана номеры.
Килеп сыҡҡан таблица «бормалы-бормалы» түбәндәге формаль алгоритм буйынса урап сығыла.
Полученная таблица обходится «змейкой» по следующему формальному алгоритму.
* ЕслиӘгәр текущеехәҙерге положениеурыны <math>\left( i,j \right)</math> таковошундай булһа, чтобында <math>i</math> — [[ЧётныеЙоп иһәм нечётныетаҡ числаһандар|нечётноетаҡ]], аә <math>j=1</math> булһа, тоул следующимсаҡта положениемунан выбираетсяһуңғы урын итеп <math>\left( i+1,j \right)</math> һайлана.
* ЕслиӘгәр текущеехәҙерге положениеурыны <math>\left( i,j \right)</math> таковошундай булһа, чтобында <math>i=1</math>, аә <math>j</math> — чётноейоп, тоул следующимсаҡта положениемунан выбираетсяһуңғы урын итеп <math>\left( i,j+1 \right)</math> һайлана.
* ЕслиӘгәр дляхәҙерге текущегоурын положенияөсөн <math>\left( i,j \right)</math> сумма индексов <math>\left( i+j \right)</math> нечётнаиндекстар суммаһы таҡ булһа, тоул саҡта унан следующееһуңғы положениеурын — <math>\left( i-1,j+1 \right)</math>.
* ЕслиӘгәр дляхәҙерге текущегоурын положенияөсөн <math>\left( i,j \right)</math> сумма индексов <math>\left( i+j \right)</math> чётнаиндекстар суммаһы йоп булһа, тоул саҡта унан следующееһуңғы положениеурын — <math>\left( i+1,j-1 \right)</math>.
Был ҡағиҙәләр өҫтән аҫҡа ҡарап сығыла һәм артабанғы урын беренсе тура килеүсәнлек буйынса һайлап алына.
Эти правила просматриваются сверху вниз и следующее положение выбирается по первому совпадению.
Ошондай урап сығыу процессында һәр яңы рациональ һанға сираттағы натураль һан ярашлы ҡуйыла. Йәғни <math>1/1</math> кәсеренә 1 һаны ярашлы ҡуйыла, <math>2/1</math> кәсеренә — 2 һаны, һ.б. Әйтергә кәрәк, тик ҡыҫҡармай торған кәсерҙәр генә нумерланалар. Ҡыҫҡармауҙың формаль билдәһе булып кәсерҙең числителе һәм знаменателенең [[Иң ҙур уртаҡ бүлеүсе|иң ҙур уртаҡ бүлеүсеһе]] бергә тигеҙ булыуы тора.
В процессе такого обхода каждому новому рациональному числу ставится в соответствие очередное натуральное число. То есть дроби <math>1/1</math> ставится в соответствие число 1, дроби <math>2/1</math> — число 2, и т. д. Нужно отметить, что нумеруются только несократимые дроби. Формальным признаком несократимости является равенство единице [[Наибольший общий делитель|наибольшего общего делителя]] числителя и знаменателя дроби.
Был алгоритмға эйәреп, бөтә ыңғай рациональ һандарҙы нумерлап сығып була. Был ыңғай рациональ һандар күмәклеге <math>\mathbb{Q}_+</math> иҫәпле тигәнде аңлата. Ыңғай һәм тиҫкәре рациональ һандар күмәклектәре араһында еңел генә биекция урынлаштырып була, ябай ғына һәр рациональ һанға уға ҡапма-ҡаршы һанды ярашлы ҡуйып. Шулай итеп, тиҫкәре рациональ һандар күмәклеге лә <math>\mathbb{Q}_-</math> иҫәпле. Уларҙың берекмәһе <math>\mathbb{Q}_+ \cup \mathbb{Q}_-</math> иҫәпле күмәклектәрҙең үҙсәнлеге буйынса шулай уҡ иҫәпле. Рациональ һандар күмәклеге иһә <math>\mathbb{Q}=\mathbb{Q}_+ \cup \mathbb{Q}_- \cup \left\{ 0 \right\}</math> иҫәпле күмәклек менән сикле күмәклектең берекмәһе булараҡ шулай уҡ иҫәпле.
Следуя этому алгоритму, можно занумеровать все положительные рациональные числа. Это значит, что множество положительных рациональных чисел <math>\mathbb{Q}_+</math> счётно. Легко установить биекцию между множествами положительных и отрицательных рациональных чисел, просто поставив в соответствие каждому рациональному числу противоположное ему. Т. о. множество отрицательных рациональных чисел <math>\mathbb{Q}_-</math> тоже счётно. Их объединение <math>\mathbb{Q}_+ \cup \mathbb{Q}_-</math> также счётно по свойству счётных множеств. Множество же рациональных чисел <math>\mathbb{Q}=\mathbb{Q}_+ \cup \mathbb{Q}_- \cup \left\{ 0 \right\}</math> тоже счётно как объединение счётного множества с конечным.
Әлбиттә, рациональ һандарҙы нумерлауҙың башҡа ысулдары ла бар. Мәҫәлән, бының өсөн [[Калкин — Уилф ағасы]], [[Штерн — Броко ағасы]] йәки [[Фарей рәте]] кеүек структуралар менән файҙаланырға була.
Разумеется, существуют и другие способы занумеровать рациональные числа. Например, для этого можно воспользоваться такими структурами как [[дерево Калкина — Уилфа]], [[дерево Штерна — Броко]] или [[ряд Фарея]].
Рациональ һандар күмәклегенең иҫәпле булыуы тураһында раҫлау ниндәйҙер аптырап ҡалыу тыуҙырырға мөмкин, сөнки тәү ҡарауға ул натураль һандар күмәклегенән күпкә киңерәк тигән тәьҫорат тыуа. Ысынында улай түгел һәм бөтә рациональ һандарҙы нумерлап сығыу өсөн натураль һандар етә.
Утверждение о счётности множества рациональных чисел может вызывать некоторое недоумение, так как на первый взгляд складывается впечатление, что оно гораздо обширнее множества натуральных чисел. На самом деле это не так и натуральных чисел хватает, чтобы занумеровать все рациональные.
== Недостаточность рациональных чисел ==
| 