|
#: <math>\forall a \in \mathbb{Q} ~ \exists n \in \mathbb{N} ~~ \sum_{k=1}^{n}1>a</math>.
=== Өҫтәлмә үҙсәнлектәре ===
=== Дополнительные свойства ===
Рациональ һандарға хас булған башҡа бөтә үҙсәнлектәрҙе төп үҙсәнлектәргә индермәйҙәр, сөнки улар туранан-тура бөтөн һандарҙың үҙсәнлектәренә таянмайҙар, ә килтерелгән төп үҙсәнлектәрҙән сығып йәки ниндәйҙер математик объекттың билдәләмәһе буйынса иҫбат ителергә мөмкиндәр. Ундай өҫтәлмә үҙсәнлектәр бик күп. Бында уларҙың тик бер нисәһен генә килтереү урынлы.
Все остальные свойства, присущие рациональным числам, не выделяют в основные, потому что они, вообще говоря, уже не опираются непосредственно на свойства целых чисел, а могут быть доказаны исходя из приведённых основных свойств или непосредственно по определению некоторого математического объекта. Таких дополнительных свойств очень много. Здесь имеет смысл привести лишь некоторые из них.
* Тәртипкә килтереү бәйләнеше «>» (аргументтарҙың ҡапма-ҡаршы тәртибендә) шулай уҡ транзитивлы.
* Отношение порядка «>» (с противоположным порядком аргументов) также транзитивно.
*: <math>\forall a,b,c \in \mathbb{Q} ~~ a>b \land b>c \Rightarrow a>c</math>
* Теләһә ниндәй рациональ һандың нулгә ҡабатландығы нулгә тигеҙ.
* Произведение любого рационального числа на ноль равно нулю.
*: <math>\forall a \in \mathbb{Q} ~~ a \cdot 0 = 0</math>
* Бер тамғалы рациональ тигеҙһеҙлектәрҙе быуын быуынлап ҡушырға мөмкин.
* Рациональные неравенства одного знака можно почленно складывать.
*: <math>\forall a,b,c,d \in \mathbb{Q} ~~ a>b \land c>d \Rightarrow a+c>b+d</math>
* Рациональ һандар күмәклеге <math>\mathbb{Q}</math> [[Ялан (алгебра)|ялан]] була (теүәлерәк, бөтөн һандар <math>\mathbb{Z}</math>) ҡулсаһының кәсерҙәрҙе ҡушыу һәм ҡабатлау ғәмәлдәренә ҡарата [[Бүлендектәр яланы|бүлендектәр яланы]].
* Множество рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math> является [[Поле (алгебра)|полем]] (а именно, [[поле частных|полем частных]] кольца целых чисел <math>\mathbb{Z}</math>) относительно операций сложения и умножения дробей.
*: <math>\left(\mathbb{Q}, +, \cdot \right)</math> — поле
* [[Позицион иҫәпләү системаһы]]нда рациональ һан представляется [[периодик кәсер]] рәүешендә күрһәтелә. Улай ғына түгел, кәсерҙең периодик кәсер рәүешендә күрһәтелә алыуы ысын һандың рационаллеге [[критерий (логика)|критерийы]] булып тора.
* В [[позиционная система счисления|позиционной системе счисления]] рациональное число представляется [[периодическая дробь|периодической дробью]]. Более того, наличие представления в виде периодической дроби является [[критерий (логика)|критерием]] рациональности вещественного числа.
* Һәр рациональ һан [[алгебраик һан|алгебраик]] була.
* Каждое рациональное число является [[алгебраическое число|алгебраическим]].
*: <math>\mathbb{Q} \subset \mathbb{A}</math>
* МеждуТеләһә любымининдәй двумятөрлө различнымиике рациональными числамирациональ <math>a</math> иһәм <math>b</math> существуетһандары хотяараһында быбер одногенә рациональноебулһа числола шундай <math>x</math>, такое,рациональ чтоһаны бар, <math>a<x</math> иһәм <math>x<b</math>. (ВБындай качествеһанға примерамиҫал такого числа можно взятьрәүешендә <math>x = \textstyle{\frac{a+b}{2}}</math> алырға мөмкин.) Ясно, что между <math>a</math> иһәм <math>x</math>, ашулай также междууҡ <math>x</math> иһәм <math>b</math> тожеараһында существуетшулай хотяуҡ бы поберәр одномугенә рациональномубулһа числу.ла Отсюдарациональ следует,һан чтобулыуы междуаңлашылып тора. Ошонан сығып, любымителәһә двумяниндәй различнымитөрлө рациональнымиике числамирациональ <math>a</math> иһәм <math>b</math> существует бесконечноһандары многоараһында рациональныхсикһеҙ чиселкүп рациональ һан бар. ИначеИкенсе төрлө говоряәйткәндә, некүрше существуетторған двухике соседнихрациональ рациональныхһан чиселюҡ. ВАйырып частностиәйткәндә, неиң существуетбәләкәй наименьшегоыңғай положительногорациональ рациональногоһан числаюҡ.
* НеИң существуетҙур наибольшегоһәм ииң наименьшегобәләкәй рациональногорациональ числа.һан Дляюҡ. любогоТеләһә рациональногониндәй числарациональ <math>x</math> найдутсяһаны рациональныеөсөн рациональ (иһәм дажехатта целыебөтөн) числа <math>a</math> иһәм <math>b</math> такиеһандары бар, чтобында <math>a<x</math> иһәм <math>x<b</math>.
== Счётность множества ==
| 