|
=== Тупаҫ баһа ===
Күп ыңғай ысын һандан квадрат тамыр алыу алгоритмдары {{mvar|S}} ниндәй ҙә булһа башланғыс ҡиммәт булыуын талап итә. Әгәр башланғыс ҡиммәт тамырҙың ысын ҡиммәтенән ныҡ алыҫ булһа, иҫәпләү әкренәйә. Шуға күрә бик теүәл булмаһа ла, еңел иҫәпләнгән тупаҫ баһаны белеү файҙалы. Әгәр {{math|''S'' ≥ 1}} булһа, ''D'' - {{mvar|S}}ҡиммәтенең унарлы өтөрҙән һул яҡтағы цифрҙар һаны булһын, ти. Әгәр {{math|''S'' < 1}} булһа, {{mvar|D}} - минус тамғаһы менән алынған унарлы өтөрҙән уң яҡта рәттән килеүсе нулдәр һаны булһын. Ул саҡта тупаҫ хата түбәндәге күренештә:
Многие алгоритмы вычисления квадратных корней из положительного действительного числа {{mvar|S}} требуют некоторого начального значения. Если начальное значение слишком далеко от настоящего значения корня, вычисления замедляются. Поэтому полезно иметь грубую оценку, которая может быть очень неточна, но легко вычисляется. Если {{math|''S'' ≥ 1}}, пусть ''D'' будет числом цифр {{mvar|S}} слева от десятичной запятой. Если {{math|''S'' < 1}}, пусть {{mvar|D}} будет числом нулей, идущих подряд, справа от десятичной запятой, взятое со знаком минус. Тогда грубая оценка выглядит так:
: ЕслиӘгәр {{mvar|D}} нечётнотаҡ булһа, {{math|1=''D'' = 2''n'' + 1}}, тогдаул используемсаҡта <math> \sqrt{S} \approx 2 \cdot 10^n.</math> ҡулланабыҙ.
: ЕслиӘгәр {{mvar|D}} чётнойоп булһа, {{math|1=''D'' = 2''n'' + 2}}, тогдаул используемсаҡта <math> \sqrt{S} \approx 6 \cdot 10^n.</math> ҡулланабыҙ.
ДваИке иһәм шестьалты используются потомуҡулланыла, чтосөнки <math>\sqrt{\sqrt{1 \cdot 10}} = \sqrt[4]{10} \approx 2</math> и <math>\sqrt{\sqrt{10 \cdot 100}} = \sqrt[4]{1000} \approx 6 \,.</math> ▼Икеле иҫәпләү системаһында эшләгәндә (компьютер эсендәге кеүек), икенсе баһаны ҡулланырға кәрәк: <math>2^{\left\lfloor D/2\right\rfloor}</math> (бында {{mvar|D}} икеле цифрҙар һаны).
=== Геометрик юл менән квадрат тамыр алыу ===
▲Два и шесть используются потому, что <math>\sqrt{\sqrt{1 \cdot 10}} = \sqrt[4]{10} \approx 2</math> и <math>\sqrt{\sqrt{10 \cdot 100}} = \sqrt[4]{1000} \approx 6 \,.</math>
При работе в [[двоичная система|двоичной системе]] (как внутри компьютеров), следует использовать другую оценку <math>2^{\left\lfloor D/2\right\rfloor}</math> (здесь {{mvar|D}} это число двоичных цифр).
=== Геометрическое извлечение квадратного корня ===
[[Файл:Mitjana geomètrica amb teorema de l'altura.PNG|200px]]
<math>|BH| = \sqrt{|AH|\cdot|HC|}</math>
ВАйырым частностиосраҡта, еслиәгәр <math>|AH| = 1</math>, аә <math>|HC| = x</math> булһа, тоул саҡта <math>|BH|=\sqrt{x}</math> ▼
▲В частности, если <math>|AH| = 1</math>, а <math>|HC| = x</math>, то <math>|BH|=\sqrt{x}</math>
<ref>Р. Курант Г. Роббинс Что такое математика? МЦНМО, 2000. Стр. 148</ref>
=== ИтерационныйИтерацион аналитическийаналитик алгоритм ===
''''' Основная статья: [[ИтерационнаяГерон формулаитерацион Геронаформулаһы]] '''''
<math> \begin{cases} x_{n+1} = \frac{1}{2} \left(x_n + \frac{a}{x_n} \right) \\ x_0 = a \end{cases} </math>
тогдаул саҡта <math> \lim_{n \to \infty}x_n = \sqrt{a} </math> ▼
=== Бағаналап ===
▲тогда <math> \lim_{n \to \infty}x_n = \sqrt{a} </math>
Был ысул теләһә ниндәй ысын һандан теләһә ниндәй алдан бирелгән аныҡлыҡ менән тамырҙың яҡынса ҡиммәтен табырға мөмкинлек бирә. Ысулдың етешһеҙлегенә табылған цифрҙар һаны күбәйгән һайын иҫәпләүҙең ҡатмарлылығы арта барыуын индерергә була.
Ҡулдан тамыр алыу өсөн бағаналап бүлеүгә оҡшаған яҙыу ҡулланыла. Тамырын табырға кәрәк булған һан күсереп яҙыла. Унан уң яҡта эҙләнгән тамырҙың цифрҙарын әкренләп таба башлайбыҙ. Өтөрҙән һуң сикле һандағы тамғалары булған {{mvar|N}} һанынан квадрат тамыр алырға кәрәк булһын, ти. Иң тәүҙә уйҙа ғына йәки билдә ярҙамында Для начала мысленно или метками разобьём число {{mvar|N}} һанын унарлы нөктәнән уңда һәм һулда икешәр цифрҙан торған төркөмдәргә бүлеп сығабыҙ. Кәрәк булғанда, төркөмдәр нулдәр менән тулыландырылалар - бөтөн өлөшө һулдан, ә кәсер өлөшө уңдан тулыландырыла. Шулай, {{math|31234,567}} һанын {{math|03 12 34, 56 70}} күренешендә яҙырға кәрәк. Бүлеүҙән айырмалы рәүештә, цифрҙар икешәрләп төркөмдәре менән төшөрөләләр.
=== Столбиком ===
Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью. К недостаткам способа можно отнести увеличивающуюся сложность вычисления с увеличением количества найденных цифр.
Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на [[деление столбиком]]. Выписывается число, корень которого ищем. Справа от него будем постепенно получать цифры искомого корня. Пусть извлекается корень из числа {{mvar|N}} с конечным числом знаков после запятой. Для начала мысленно или метками разобьём число {{mvar|N}} на группы по две цифры слева и справа от десятичной точки. При необходимости, группы дополняются нулями — целая часть дополняется слева, дробная справа. Так {{math|31234,567}} можно представить, как {{math|03 12 34, 56 70}}. В отличие от деления снос производится такими группами по 2 цифры.
# ЗаписатьДәфтәр числобитенә {{mvar|N}} һанын яҙырға (в примеремиҫалда — {{math|69696}}) на листке.
# НайтиКвадраты <math>a</math>,{{mvar|N}} квадратһанының которогоөлкән меньшеразряды илитөркөмөнә равентигеҙ группейәки старшихкәмерәк разрядовбулған числа<math>a</math> {{mvar|N}}һанын табырға (старшаяөлкән группатөркөм — самаянулгә леваятигеҙ небулмаған равнаяиң нулюһулдағы төркөм), а квадратә <math>a+1</math>-ҙең большеквадраты группыһандың старшихөлкән разрядовразряд числатөркөмөнән ҙур. Записать найденноеТабылған <math>a</math> справа отһанын {{mvar|N}}-дан уң яҡта яҙып ҡуябыҙ (этобыл очереднаяэҙләнгән цифратамырҙың искомогосираттағы корняцифры). (НаМиҫалдың первомберенсе шагеаҙымында примера <math>a^2=2^2=2 \cdot 2=4 < 6</math>, аә <math>(a+1)^2=3^2=3 \cdot 3=9 > 6</math>).
# <math>a</math> һанының квадратын өлкән разряд төркөмө аҫтына яҙабыҙ. {{mvar|N}} һанының өлкән разряд төркөмөнән аҫтында яҙылған <math>a</math> һанының квадратын алабыҙ һәм һөҙөмтәне улар аҫтына яҙабыҙ.
# Записать квадрат <math>a</math> под старшей группой разрядов. Провести вычитание из старшей группы разрядов {{mvar|N}} выписанного квадрата числа <math>a</math> и записать результат вычитания под ними.
# Был алыу һөҙөмтәһенең һул яғынан вертикаль һыҙыҡ үткәрәбеҙ һәм һыҙыҡтан һулда һөҙөмтәнең табылған цифрҙарының (беҙ уларҙы {{mvar|N}} һанынан уң яҡта яҙып ҡуябыҙ) {{math|20}}-гә ҡабатландығына тигеҙ булған һанды яҙабыҙ. Был һанды <math>b</math> тип атайыҡ. (Миҫалдың беренсе аҙымында был һан <math>b=2 \cdot 20=40</math>, икенсеһендә <math>b=26 \cdot 20=520</math>).
# Слева от этого результата вычитания провести вертикальную черту и слева от черты записать число равное уже найденным цифрам результата (мы их выписываем справа от {{mvar|N}}) умноженное на {{math|20}}. Назовём это число <math>b</math>. (На первом шаге примера это число просто есть <math>b=2 \cdot 20=40</math>, на втором <math>b=26 \cdot 20=520</math>).
# Артабанғы төркөм цифрҙарҙы төшөрөп яҙабыҙ, йәғни алыу һөҙөмтәһенә уң яҡтан {{mvar|N}} һанының артабанғы ике цифрын өҫтәп яҙабыҙ. Алыу һөҙөмтәһе менән сираттағы ике цифр төркөмөн берләштереүҙән килеп сыҡҡан һанды <math>c</math> һаны тип атайыҡ. (Миҫалда беренсе аҙымда был һан <math>c=296</math>, икенсеһендә <math>c=2096</math>). Әгәр беренсе төркөм {{mvar|N}} һанының унарлы өтөрөнән һуң төшһә, эҙләнгән тамырҙың табылған цифрҙарынан һуң уң яҡта нөктә ҡуйырға кәрәк.
# Произвести снос следующей группы цифр, то есть дописать следующие две цифры числа {{mvar|N}} справа от результата вычитания. Назовем <math>c</math> число, полученное соединением результата вычитания и очередной группы из двух цифр. (На первом шаге примера это число <math>c=296</math>, на втором <math>c=2096</math>). Если сносится первая группа после десятичной точки числа {{mvar|N}}, то нужно поставить точку справа от уже найденных цифр искомого корня.
# ТеперьХәҙер нужно найти такоешундай <math>a</math>, чтоһанын табырға кәрәк, <math>(b+a) \cdot a</math> меньше или равно <math>c</math>-нан бәләкәй йәки тигеҙ, ноләкин <math>(b+(a+1)) \cdot (a+1)</math> больше, чем <math>c</math> һанынан ҙурыраҡ булһын. Записать найденноеТабылған <math>a</math> справа отһанын N-дан уң яҡта, какэҙләнгән очереднуютамырҙың цифрусираттағы искомогоцифры корняитеп яҙырға. Вполне возможноИхтимал, что <math>a</math> окажетсяһаны равнымнуль нулюбулырға мөмкин. ЭтоБыл ничегобер ненәмәне меняетлә —үҙгәртмәй записываем— {{math|0}}-де справатамырҙың оттабылған ужецифрҙарынан найденныхуң цифряҡта корняяҙабыҙ. (Намиҫалда первомберенсе шагеаҙымда примерабыл это числоһан {{math|6}}, так каксөнки <math>(40+6) \cdot 6=46 \cdot 6=276 < 296</math>, ноләкин <math>(40+7) \cdot 7=47 \cdot 7=329 > 296</math>) ЕслиӘгәр числотабылған найденныхцифрҙар цифрбирелгән ужеаныҡлыҡты удовлетворяет искомой точностиҡәнәғәтләндерһә, прекращаемиҫәпләү процесспроцессын вычислениятамамлайбыҙ.
# Записать число <math>(b+a) \cdot a</math> подһанын <math>c</math>. Провестиһаны вычитаниеаҫтына столбикомяҙабыҙ. числаБағаналап <math>(b+a) \cdot a</math> изһанын <math>c</math> иһанынан записатьалабыҙ результатһәм вычитанияалыу подһөҙөмтәһен ними.улар Перейтиаҫтына к шагуяҙабыҙ. 4-се аҙымға күсәбеҙ.
''Алгоритмдың күргәҙмә һүрәтләмәһе:''
''Наглядное описание алгоритма:''
[[Файл:SquareRoot.png|200px]]
| 