Википедия

Күпбыуын: өлгөләр араһындағы айырма

Интерактивная навигация по истории
← Алдағы үҙгәртеүКиләһе үҙгәртеү →
Эстәлек юйылған Эстәлек өҫтәлгән
ВизуальВикитекст
→‎Ссылки: категория
Үҙгәртеү аңлатмаһы юҡ
14 юл:
== Өйрәнеү һәм ҡулланыу ==
[[Файл:График многочленов Бернулли.png|thumb|[[Многочлены Бернулли|Бернулли күпбыуындары]] графигы]]
Полиномиаль тигеҙләмәләрҙе һәм уларҙың сығарылышын өйрәнеү «классик алгебраның» төп объектын тәшкил итә тип әйтеп була. Математикала бик күп үҙгәртеп ҡороуҙар күпбыуындарҙы өйрәнеү менән бәйле: [[Ноль (число)|нуль]] һанын , [[отрицательное число|тиҫкәре]] һандарҙы, ә аҙаҡ [[комплексное число|комплекслы һандарҙы]] индереү, шулай уҡ математиканың айырым бүлеге булараҡ [[теория групп|группалар теорияһының]] барлыҡҡа килеүе һәм анализда [[специальные функции|махсус функциялар]] класының бүленеп сығыуы.
Изучение полиномиальных уравнений и их решений составляло едва ли не главный объект «классической алгебры».
Функцияларҙың ҡатмарлыраҡ кластары менән сағыштырғанда, күпбыуындар менән бәйле иҫәпләүҙәр техник яҡтан бик ябай. Күпбыуындар күмәклеге [[евклидово пространство|евклид киңлегенең]] [[Компактное пространство|компактлы аҫкүмәклегендә]] [[Непрерывное отображение|өҙлөкһөҙ функциялар]] киңлегендә [[Словарь терминов общей топологии#П|тығыҙ]] (см. [[Вейерштрастың аппроксимацион теоремаһы]]). Ошо факттар [[математический анализ|математик анализда]] [[степенной ряд|рәттәргә]]тарҡатыу методтарының һәм полиномиаль [[интерполяция|интерполяцияның]] үҫешенә булышлыҡ итте.
Күпбыуындар шулай уҡ,объекты булып күпбыуындар системаһының сығарылышы тип билдәләнгән күмәклектәр торған [[алгебраическая геометрия|алгебраик геометрияла]] төп ролде уйнайҙар.
Күпбыуындарҙы ҡабатлағанда коэффициенттар үҙгәреүенең үҙенә бер төрлө үҙсәнлектәре алгебраик геометрияла, [[алгебра|алгебрала]], [[теория узлов|төйөндәр теорияһында]] һәм математиканың башҡа бүлектәрендә төрлө объекттарҙың үҙсәнлектәрен кодлау йәки күпбыуындар аша күрһәтеү өсөн ҡулланыла.
 
== Бәйле билдәләмәләр ==
С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение [[Ноль (число)|нуля]], [[отрицательное число|отрицательных]], а затем и [[комплексное число|комплексных чисел]], а также появление [[теория групп|теории групп]] как раздела математики и выделение классов [[специальные функции|специальных функций]] в анализе.
* <math>c x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}</math> күренешендәге күпбыуын '''[[бербыуын]]''' йәки ' <math>I=(i_1,\dots,\,i_n)</math> мультииндексының '''мономы'' тип атала.
* <math>I=(0,\dots,\,0)</math> мультииндексына ярашлы бербыуын '''ирекле быуын''' тип атала.
* (Нуль булмаған) <math>c_I x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}</math> бербыуынының '''тулы дәрәжәһе''' тип <math>|I|=i_1+i_2+\dots+i_n</math> бөтөн һаны атала.
* <math>c_I</math> коэффициенттары нуль булмаған ''I'' мультииндекстар күмәклеге '''күпбыуын вәкиле''' тип, ә уның [[ҡабарынҡы тышлығы]] — '''[[многогранник Ньютона|Ньютон күпҡыры]]''' тип атала.
* '''Күпбыуындың дәрәжәһе''' тип уның бербыуындарының иң ҙур дәрәжәһе атала. Тождестволы нулдең дәрәжәһе <math>-\infty</math> ҡиммәте менән тулыландырылып билдәләнә..
*Ике мономдың суммаһы булған күпбыуын '''икебыуын''' йәки '''бином''' тип атала.
* Өс мономдың суммаһы булған күпбыуын '''өсбыуын''' тип атала. Күпбыуындың коэффициенттары ғәҙәттә билдәле бер [[коммутативность|коммутатив]] [[Кольцо (алгебра)|балдаҡтан]] <math>R</math> алына (йышыраҡ [[поле (алгебра)|өлкәләрҙән]], мәҫәлән, [[вещественное число|ысын һандар]] йәки [[комплексное число|комплекслы һандар]] өлкәһенән). Был осраҡта ҡушыу һәм ҡабатлау ғәмәлдәренә ҡарата күпбыуындар <math>R[x_1,x_2,\dots,x_n].</math> тип тамғаланған [[Кольцо (алгебра)|балдаҡ]] (улай ғына түгел, нуль бүлеүселәреһеҙ ассоциатив-коммутатив <math>R</math> [[Алгебра над кольцом|балдаҡ өҫтөндә алгебра]]) төҙөйҙәр.
=== Полиномиаль функциялар ===
<math>A</math> - <math>R</math> балдағы өҫтөндә алгебра булһын, ти.
Ирекле <math>p(x)\in R[x_1,x_2,\dots,x_n]</math> күпбыуыны : <math>p_R:A\to A</math> полиномиаль функцияны билдәләй.
Йышыраҡ <math>A=R</math> осрағын ҡарайҙар.
<math>R</math> - [[Вещественное число|ысын һандар]] йәки [[Комплексное число|комплекслы һандар]] өлкәһе (шулай уҡ сикһеҙ күп элементы булған теләһә ниндәй башҡа өлкә) булған осраҡта, <math>f_p:R^n\to R</math> функцияһы тулыһынса p күпбыуынын билдәләй.
Әммә дөйөм осраҡта был дөрөҫ түгел, мәҫәлән: <math>\Z_2[x]</math>-тан <math>p_1(x)\equiv x</math> һәм <math>p_2(x)\equiv x^2</math> күпбыуындары тождестволы тигеҙ функцияларҙы билдәләй <math>\Z_2\to\Z_2</math>.
 
== Күпбыуын төрҙәре ==
Техническая простота вычислений, связанных с многочленами, по сравнению с более сложными классами функций, а также тот факт, что множество многочленов [[Словарь терминов общей топологии#П|плотно]] в пространстве [[Непрерывное отображение|непрерывных функций]] на [[Компактное пространство|компактных подмножествах]] [[евклидово пространство|евклидова пространства]] (см. [[аппроксимационная теорема Вейерштрасса]]), способствовали развитию методов разложения в [[степенной ряд|ряды]] и полиномиальной [[интерполяция|интерполяции]] в [[математический анализ|математическом анализе]].
* Бер үҙгәреүсәнле күпбыуындың өлкән коэффициенты 1-гә тигеҙ булһа, ул '''унитар''', '''нормалаштырылған''' йәки {{нп5|Приведённый многочлен|'''килтерелгән'''||Monic polynomial}} тип атала.
* Бөтә быуындары ла бер үк тулы дәрәжәлә булған күпбыуын '''[[Однородный многочлен|бер төрҙәге]]''' күпбыуын тип атала.
** Мәҫәлән, <math>x^2+xy+y^2</math> — ике үҙгәреүсәнле бер төр күпбыуын, ә <math>x^2+y+1</math> бер төр булмай.
* Әгәр күпбыуынды коэффициенттары бирелгән өлкәнән булған түбәнерәк дәрәжәләге күпбыуындарҙың ҡабатландығы рәүешендә күрһәтеп булһа, ул '''килтерелмәле''' (бирелгән өлкәлә) тип атала, кире осраҡта — '''килтерелмәле түгел'''.
 
== Үҙсәнлектәре ==
Многочлены также играют ключевую роль в [[алгебраическая геометрия|алгебраической геометрии]], объектом которой являются множества, определённые как решения систем многочленов.
 
Особые свойства преобразования коэффициентов при умножении многочленов используются в алгебраической геометрии, [[алгебра|алгебре]], [[теория узлов|теории узлов]] и других разделах математики для кодирования или выражения многочленами свойств различных объектов.
 
== Связанные определения ==
* Многочлен вида <math>c x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}</math> называется '''[[одночлен]]ом''' или '''мономом''' мультииндекса <math>I=(i_1,\dots,\,i_n)</math>.
* Одночлен, соответствующий мультииндексу <math>I=(0,\dots,\,0)</math> называется '''свободным членом'''.
* '''Полной степенью''' (ненулевого) одночлена <math>c_I x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}</math> называется целое число <math>|I|=i_1+i_2+\dots+i_n</math>.
* Множество мультииндексов ''I'', для которых коэффициенты <math>c_I</math> ненулевые, называется '''носителем многочлена''', а его [[выпуклая оболочка]] — '''[[многогранник Ньютона|многогранником Ньютона]]'''.
* '''Степенью многочлена''' называется максимальная из степеней его одночленов. Степень тождественного нуля доопределяется значением <math>-\infty</math>.
* Многочлен, являющийся суммой двух мономов, называется '''двучленом''' или '''биномом''',
* Многочлен, являющийся суммой трёх мономов, называется '''трёхчленом'''.
* Коэффициенты многочлена обычно берутся из определённого [[коммутативность|коммутативного]] [[Кольцо (алгебра)|кольца]] <math>R</math> (чаще всего [[поле (алгебра)|поля]], например, поля [[вещественное число|вещественных]] или [[комплексное число|комплексных чисел]]). В этом случае, относительно операций сложения и умножения многочлены образуют [[Кольцо (алгебра)|кольцо]] (более того ассоциативно-коммутативную [[Алгебра над кольцом|алгебру над кольцом]] <math>R</math> без делителей нуля) которое обозначается <math>R[x_1,x_2,\dots,x_n].</math>
 
=== Полиномиальные функции ===
Пусть <math>A</math> есть [[алгебра над кольцом]] <math>R</math>.
Произвольный многочлен <math>p(x)\in R[x_1,x_2,\dots,x_n]</math> определяет полиномиальную функцию
: <math>p_R:A\to A</math>.
Чаще всего рассматривают случай <math>A=R</math>.
 
В случае, если <math>R</math> есть поле [[Вещественное число|вещественных]] или [[Комплексное число|комплексных чисел]] (а также любое другое поле с бесконечным числом элементов), функция <math>f_p:R^n\to R</math> полностью определяет многочлен p.
Однако в общем случае это неверно, например: многочлены <math>p_1(x)\equiv x</math> и <math>p_2(x)\equiv x^2</math> из <math>\Z_2[x]</math> определяют тождественно равные функции <math>\Z_2\to\Z_2</math>.
 
== Виды многочленов ==
* Многочлен одной переменной называется '''унитарным''', '''нормированным''' или {{нп5|Приведённый многочлен|'''приведённым'''||Monic polynomial}}, если его старший коэффициент равен единице.
* Многочлен, все одночлены которого имеют одну и ту же полную степень, называется '''[[Однородный многочлен|однородным]]'''.
** Например <math>x^2+xy+y^2</math> — однородный многочлен двух переменных, а <math>x^2+y+1</math> не является однородным.
* Многочлен, который можно представить в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется '''приводимым''' (над данным полем), в противном случае — '''неприводимым'''.
 
== Свойства ==
* Кольцо многочленов над произвольной [[область целостности|областью целостности]] само является областью целостности.
* Кольцо многочленов от любого конечного числа переменных над любым [[факториальное кольцо|факториальным кольцом]] само является факториальным.
«https://ba.wikipedia.org/wiki/Күпбыуын» битенән алынған